pzzの博客

Re0观后感（未完成）

Wed, 08 Apr 2026 21:31:34 +0800

前言

在清明加校庆五天假期里把Re0系列的第二季和第三季补完了。Re0对我来说虽然不是入坑番“梦开始的地方”的存在，但也是我入坑二次元初期非常重要的一部作品，对于我来说有着非常重要的意义，所以我打算花一些时间聊聊这部作品。

我第一次接触到这个系列应该是在2020年疫情在家的时候。那时候我才入坑二次元没多久，看过的番也不算多，基本都算是比较王道的，就算带虐的剧情强度也不是很大，比如《刀剑神域》里的须乡整亚丝娜（须乡必须死..）所以在看Re0的时候真的是刷新了我的承受的下限。或许是玩游戏玩的多了，像是死亡重来的事情实在是太常见不过了（比如《Minecraft》）486的死亡回归能力在我看来是个完全没有负面作用的超强技能。但在前几集看486死了几次之后这样的想法就悄然消失了。番中对486死亡的感觉的细腻描绘让我意识到死亡并不就是一个死亡界面的事情，而是身体和心灵的双重痛苦和折磨。486真惨吧..这样的感觉在之后的府邸篇、王选篇和圣域篇更是越发强烈（就这样虐486哈）我也是第一次在番剧中体会到主人公如此绝望，看不到希望的情感，代入感非常强。在其他番剧中困难或许没有那么难以突破，或许不像486那样毫无思路，或许没有死亡回归那么痛苦，或许没有解决苦难的后果没有那么深重。486在前期甚至没有一个依靠，爱蜜莉雅没有和他交心，无法理解他；雷姆第一次甚至直接将486刀了，在之后的死亡回归中对486的态度也是忽好忽坏。我认为那段时间是486最难的时期。后面的篇章对486的心态的描绘也能够看出486的孤独、孤立无援的痛苦，比如在486与艾姬多娜的茶会中，486得知艾姬多娜知道自己死亡回归的能力和不停轮回的痛苦之后，直接跪在地上大哭起来，即便艾姬多娜不是朋友，但对于486来说，终于不是自己独自默默承受这一切，没有人可以诉说不断死亡，不断回归，经历身边同伴的死去，无法逃离困境的痛苦。在补番的时候我时常代入486的视角，思考着如何在这样的绝境中走出来，更多时候我是手足无措的，结果可能比486的结果更坏。486死亡回归的能力让我时常思考，思考自己困难的解决，思考自己的心态，思考自己的处事态度。

主角团

雷姆 vs EMT

下面我想聊聊486的伙伴们。486身边的同伴们在我心中的排名随着我追番的过程中发生了不小的改变。在486没有“攻略”雷姆的时候，我的排名是爱蜜莉雅>雷姆=碧翠丝=拉姆。在之后486和雷姆互相拯救之后，排名是雷姆>爱蜜莉雅>碧翠丝>拉姆。在王选篇中，我实在是觉得爱蜜莉雅有些任性，特别是在那次和486的争吵中，不过当时486快崩溃了，语气也很差，只顾着要救爱蜜莉雅。（那次根本就没有达成有效交流啊）（再次理解统战和语言的艺术的重要性）而且这段时间开始的雷姆也太可爱了吧..（各个层面上）雷姆的告白那一段让这个角色的塑造达到了巅峰，也让她成为了我认为的Re0的第一女主角，像是《路人女主》里的加藤惠一样（笑）。这段戏让我至今印象深刻。在第一季结束的时候雷姆因为暴食的沉睡很大程度上是我对Re0系列半弃坑的原因，虽然我还是把第二季看了一半有多，但对Re0略有点抗拒吧。（毕竟已经从爱蜜莉雅推变成了雷姆推）剩下的因素就是因为初三备考中考了。可以说雷姆对于我来说是仅次于亚丝娜的白月光了。在喜欢上雷姆之前我一直坚定地喜欢亚丝娜那样的长直发，但遇到雷姆之后..雷姆淡蓝的短发也太好看了吧..在第一季初期我还是很喜欢爱蜜莉雅的（不过可能是因为我还没体会到雷姆的魅力）我当时还和朋友激烈的讨论爱蜜莉雅和雷姆，他是坚定的雷姆推，而我则推爱蜜莉雅，不过我在看到第一季中后期迅速地投敌了（笑）。其中有雷姆“战斗力”太强的原因，也有我对爱蜜莉雅本身的看法的转变吧，确实有些时候有点过于孩子气了（但是她本身心理年龄也就14岁啊，我在强求些什么……）不过在第二季中随着爱蜜莉雅恢复记忆、面对过去，肉眼可见地变得勇敢坚强起来，爱蜜莉雅在我心中的地位也慢慢地回升了，但很可惜，可能再也无法打败雷姆了。

碧翠丝

接下来就是碧翠丝了。我其实直到第二季结尾都没有认为碧翠丝会真正进入核心的主角团，成为486重要的精神~~和战力~~依靠。碧翠丝在王选篇和府邸篇对486的态度一直很稳定，虽然不算很好，但也是给了486一些稳定的安慰。我对碧翠丝也没有抱着很深的情感，不过确实觉得碧翠丝挺可爱的（口癖什么的好可爱啊），直到看到第二季中后期艾姬多娜、碧翠丝、罗兹瓦尔和琉兹四百年前的故事，这段剧情我真的特别喜欢啊..极大的丰富了碧翠丝和罗兹瓦尔的人物形象，我后面大概还要在聊聊这个剧情。也是这段故事让我对艾姬多娜讨厌不起来。当然后面碧翠丝投向486怀抱之后的动作、言语都特别戳我。现在的排位大概是：雷姆>碧翠丝=爱蜜莉雅>拉姆。也是挺欣慰的，看到486终于在失去雷姆之后有了心灵相通、能把后背交给对方的人。虽然这个阶段爱蜜莉雅也是成长了很多，值得486去完全信任（虽然486从一开始就完全相信爱蜜莉雅）（诶我还是对爱蜜莉雅有点芥蒂哈..总觉得爱蜜莉雅有点太天真、有的时候不太理智）

vscode插件安装失败问题的修复

Fri, 13 Mar 2026 00:00:00 +0000

正文

事情的起因是笔者在上早八时打开了 vscode 并将其更新到了最新的版本，即 1.111 。在完成了更新之后，有几个插件显示与新版本的 vscode 不兼容，需要进行更新。此时问题出现了，在安装插件的过程中 vscode 弹出 安装 "Jieba" 扩展时出错。有关更多详细信息，请查看日志。 的报错。完整的报错如下

[窗口] End of central directory record signature not found. Either not a zip file, or file is truncated.: Error: End of central directory record signature not found. Either not a zip file, or file is truncated. at Ob (file:///Applications/Visual%20Studio%20Code.app/Contents/Resources/app/out/vs/code/electron-utility/sharedProcess/sharedProcessMain.js:450:28625) at file:///Applications/Visual%20Studio%20Code.app/Contents/Resources/app/out/vs/code/electron-utility/sharedProcess/sharedProcessMain.js:450:29929 at /Applications/Visual Studio Code.app/Contents/Resources/app/node_modules/yauzl/index.js:40:7 at /Applications/Visual Studio Code.app/Contents/Resources/app/node_modules/yauzl/index.js:190:5 at /Applications/Visual Studio Code.app/Contents/Resources/app/node_modules/yauzl/index.js:712:5 at /Applications/Visual Studio Code.app/Contents/Resources/app/node_modules/yauzl/fd-slicer.js:33:7 at FSReqCallback.wrapper [as oncomplete] (node:fs:671:5)

起初笔者认为这是网络环境不太好导致的安装文件损坏引发的问题，于是又重新尝试安装了好几遍，但仍然无法完成安装。故笔者尝试了手动安装，即通过 vscode 下载插件文件并手动移动到 vscode 的插件文件夹下（在笔者的机器上的路径为~\.vscode\extensions\）。这成功的将插件装上了。但并没有解决插件无法在线安装的问题。于是笔者借助 AI 工具开始对安装的报错进行分析。

对 vscode 的插件存储机制进行简单的补充，vscode 的插件上是 VISX 文件，本质上就是 ZIP 文件。从 vscode marketplace 上下载下来的插件文件的格式为 .visxpackage ，大多数情况下为 .visx 文件的打包压缩，解压即可。

报错中的 End of central directory record signature not found 也是笔者认为是问题在于网络环境不佳导致插件文件不完整。（事实上确实是网络环境的锅，但并不是网络质量的问题 😂 ）从报错堆栈 at /Applications/Visual Studio Code.app/Contents/Resources/app/node_modules/yauzl/index.js:712:5 这一行中笔者也猜想过是 vscode 所调用的解压程序 yauzl 的锅。但从最快解决问题的方法来说，“Retry” 思想告诉笔者重启、删除插件重新安装就能解决 99% 的问题，笔者无意深入研究和探索这个解压程序。之后笔者尝试了包括重启 vscode 、将 vscode 回退到之前的版本等的方法，均没有奏效。这时笔者做出了很不理智的决定——将插件文件夹及其缓存在没有备份的情况下都删除了。然而这并没有解决问题，反而让笔者无法重新找到并安装之前的插件了。（血泪教训：执行rm -rf的之前一定要三思，对重要文件进行备份！！这也促使笔者在之后去对配置文件进行安全的备份。）

之后在对网络的排查时却无意发现找到了问题的突破口。笔者通过 file 命令对下载下来的 .visx 文件进行类型检查时其输出为 test.vsix: gzip compressed data, max speed, from FAT filesystem (MS-DOS, OS/2, NT), original size modulo 2^32 9404289。 GPT 通过这条输出找到了问题的真正原因。vscode 的插件格式应该为 Zip archive data 而不应该是 gzip compressed data。因为 ZIP 文件的 EOCD(End of central directory) 结构被 gzip 包了一层，vscode 的 ZIP 解析器无法识别，最终导致了插件安装失败。GPT 也给出了被 gzip 压缩的可能原因。

笔者开启了 VPN 代理，此时 HTTP 传输的请求头可能被改写，强制增加了 gzip 支持，导致 ZIP 文件被 gzip 再次封装。另一个可能是代理重新进行了压缩响应，使用 gzip 对 ZIP 文件进行了压缩。而 vscode 期望的是 ZIP 文件，不能正确识别 gzip 压缩的文件，故报错，造成插件安装失败。

备份

在这一部分中，笔者会简单列出备份 vscode 插件的命令，可能在日后会单开一篇博客介绍配置的备份。

code --list-extensions > vscode-extensions.txt

通过这行命令能够将 vscode 中已安装插件的列表导出至 txt 文件中。之后可以通过这行命令重新安装列表中的插件。

cat vscode-extensions.txt | xargs -n 1 code --install-extension

fate/zero观后感

Wed, 03 Sep 2025 00:00:00 +0000

其实很久以前就听闻了fate的大名，但是中学时期时间不是很多，看到fate系列那么多，我又是那种一旦要看就要全部看完的人（其实也没有那么夸张了了hh，现在看完zero和UWB线之后就想停手了），于是就一直没有去补。不过上网冲浪的过程中一直会刷到呆毛王的图，呆毛王真的好帅啊😭。终于，在看了泛式的新番时光机里又提到了fate/zero之后我终于忍不住补了这部番。

一开始看第一集的时候其实挺迷的，感觉各路都在谜语人hh，不过也是初步认识了各路人马，远坂时臣、言峰绮礼、间桐雁夜、韦伯、“阳光少年”龙之介（上次看到龙之介这个名字还是在樱花庄里的赤坂龙之介，笑）、肯尼斯主任和卫宫切嗣。然后看了感觉蛮久猛然发现怎么二十多分钟的容量里似乎有快一个小时的内容，一看进度条发现原来还真有五十分钟的容量..制作组也太良心。开局就喜欢上太太了（如图）当时一听切嗣说要送太太去死，整一个大谜语人..后面越看越🔪..只能说第四次圣杯战争真的太沉重了。几乎每一个御主都有所背负的东西，都有所愿望，或是信念，或是成就，或是理想。在这些东西的重压之下，四战的沉重和惨烈就已经注定。韦伯在圣杯战争刚开始时可能还有些懵懂，不了解圣杯战争到底意味着什么，但在经历了一场一场的战斗之后，在大帝的指引之下，韦伯也成为了一个合格的御主，也有了自己的信念。至于龙之介那真的没得说..感觉纯变态一个哈..

切嗣阵营作为主角阵营在动画中自然花了很多笔墨去描绘，我也是对切嗣阵营感情最深的（其中也有对saber的偏爱了）。我首先是对太太有了好感，并且在之后对太太的好感度不断不断上升，在zero里在我心中太太应该是仅次于saber的女性角色了。看着saber和太太相处的画面大概是我觉得本番里最温馨的画面了吧。太太的温柔和saber身为骑士王的忠诚实在是太配了。其实我一开始不太理解为什么太太对切嗣情感那么深，甚至要为切嗣的理想而付出自己的生命，直到后面知道了太太本体便是为了圣杯而生的，是圣杯的容器，但更触动我的是ed里面太太和切嗣相处的画面。相比太太作为圣杯容器，需要她来启动圣杯，实现切嗣的理想这样理性的逻辑理由，反而这样感性的画面更让我理解太太对切嗣的无限付出与爱。相较于士郎和凛的爱情来说，我更磕切嗣和太太这对。虽然后期其实太太都说了其实自己并非对切嗣的理想那么感同身受，但我仍然相信太太与切嗣之间的羁绊之深。对切嗣和太太的女儿伊莉雅其实我也挺喜欢的，但在zero里其实伊莉雅和远坂凛给我的感觉差不多，作为御主的孩子，在年纪尚小的时候就承受了四战的后果，失去了父母，背负了参加五战的使命，不免让我感到悲伤。一开始看面相就觉得切嗣是反派，后面觉得其实挺难把切嗣划分为正派或反派，或者说除了龙之介这个人算是zero里显而易见的反派之外，没有谁能让我认为是反派，就算是caster那么逆天且变态的杀人，我都觉得他稍微有一些因果在。在第一季中，切嗣就是一个冷酷、冷漠、有很深城府的人，至于他为什么是这样的则不得而知。是在第二季中独占的两集中描绘了切嗣的童年和成长的过程。后面我才发现一个呼应的小细节，时臣和麻婆在看切嗣的背景时从切嗣炸了飞机的事推断切嗣是为了杀掉飞机上的目标而将整架飞机炸掉了，实际上是为了防止虫师死前放出的毒虫在飞机降落后屠杀机场的人才炸掉飞机的，甚至飞机上还有他的养母。当时纳塔尼亚（养母）和他聊天的时候我以为两人肯定能平安相见的，没想到其实那个时候两人已经达成共识了，即使这样切嗣要亲手杀死纳塔尼亚。切嗣把自己希望世界和平的愿望藏的很深很深，贯彻着“牺牲少数人来拯救多数人”的方针，为此不择手段。我最初觉得这也还行，但在之后他通过肯主任的未婚妻要挟肯主任，逼迫肯主任使用令咒让lancer自杀了，并由舞弥之手将肯主任夫妇一并杀了，当时saber和切嗣发生了激烈冲突，我其实是有点接受不了切嗣的行为的..一部分原因是因为太过不择手段，还打破了saber和lancer之间的单挑约定，认为切嗣实在是过于现实主义和利己主义，与saber的光明、正面的骑士道差距和冲突太大，即使本人其实也是偏向于现实主义的人，另一方面是我有点吾王厨哈。不过后面看UWB线后反而是无法理解和接受士郎那过于理想的理想主义，有点难绷的是这理想还源自于这样现实主义的切嗣。当时看着这个场景就不免在思考切嗣那样的不择手段和saber那样的骑士道哪个才是正确的。真是太心疼Lancer了啊，Lancer和saber都那么有风度，公平，希望来一场堂堂正正的决斗，却被切嗣破坏了，还逼得Lancer自杀，唉。能感觉出来舞弥也是个有故事的人，不过在本番中几乎成了切嗣的工具人，也是切嗣不择手段的体现吧。

fate/zero的op和ed几乎每一首都无可挑剔，都是我在听上一两遍之后就深陷其中，无法自拔。我印象最深的是op1 oath sign和 ed 空は高く風は歌う。oath sign的前奏真的太有感觉了，那种史诗感一下子就冲上来了，再配上之后Lisa的演唱，太绝了。特别喜欢op里边的太太和saber。空は高く風は歌う是后期的一首ed，这首ed感觉是给每一集的剧情来了个升华，看着ed里切嗣和太太相识、相爱的画面，听着ed，不禁为圣杯战争的争斗和由此带来的牺牲感到难过和悲伤。

我有时间一定会重刷的嘿嘿。

博客更新日志

Sun, 31 Aug 2025 00:00:00 +0000

2026-05-18

更换成 stack 主题。

2026-05-14

添加 Github Action，自动构建并推送博客至服务器。

2026-03-27

更新记录板块，能够通过python脚本拉取TMDB中的数据自动填入记录中。使用脚本将原来的记录进行了更新和补充。

2025-09-04

调整正文标题中自动标序号的功能。

2025-08-31

更新记录板块，用于记录笔者看过的书籍以及番剧、电影等。主要参考了现使用的hugo主题作者的一篇文章。此外博客之后的博文的front matter转为使用yaml格式书写。

Hometown

Thu, 26 Jun 2025 16:22:05 +0800

总述

香港全称香港特别行政区，地域包括香港岛、九龙和新界，位处广东省珠江口东侧。

香港地处南海北岸，北沿深圳河毗邻广东省深圳市，西隔珠江与澳门、珠海相望。位于中国大陆南端，地处西太平洋沿岸各国中心，又当太平洋和印度洋航运要冲。香港是全球少有之“自由港城”，开放区为整个香港地区，而世界其它自由港多为“自由港区”，即只将港口附近地区作为自由港。很早以前，香港便成为中国南方及东南亚各地同世界各国交往之主要贸易通道，转口贸易也一直是居民生计来源。是亚太地区重要的贸易、交通和金融中心之一。更逐渐发展成亚洲重要的商贸和金融中心、国际商业枢纽、国际金融中心、联系内地与世界各地的重要服务枢纽、国际都会、国际航运和贸易中心。

香港司法制度优良、社会风气廉洁、监管制度高效、市场开放；政府致力维持良好的营商环境、自由开放的贸易，并维持低税率、简单税制、法治及司法独立。香港是号称“东方之珠”的国际大都会，“香港品牌”是香港政府重点宣传计划，推广香港为“亚洲国际都会”。香港以往被评为全球首屈一指的安全、经济发达、生活富足、具竞争力以及平均寿命最长的城市，被誉为“亚洲四小龙”之一。美国传统基金会曾于1995年至2019年曾连续评选香港为全球最自由经济体，2020年次于新加坡而得第二。而在 GaWC 公布的世界全球城市列表中，香港的排名在2020年仅次于伦敦、纽约，位列第二类别的“Alpha+”城市。

地理

地貌

香港管辖总面积2,755.03平方公里，其中陆地面积1,105.6平方公里（香港岛80.7平方公里、九龙46.9平方公里、新界及离岛978平方公里，2014年年底数字），水域面积1,650.64平方公里。从历史看，香港地区可分为香港岛、九龙和新界三部分。

维多利亚港是与美国旧金山和巴西里约热内卢齐名之世界三大天然深水良港之一，港深水阔，终年不冻。九龙半岛和香港岛之间是世界少有天然深水港湾，宽约1.5至9.6公里，深度2至14.5米，可供巨轮自由往来停泊，战略地位十分重要。

气候

香港为亚热带气候，秋季冷热适中；有时连续几周多云阴天，闷热潮湿；常有强烈台风。年中时间，太平洋形成高气压，此股夏季季候风则会吹向欧亚大陆，为香港带来多雨潮湿的夏季。夏秋两季亦是台风季节，有时会引发水浸及山体滑坡；经常受到热带气旋吹袭，如厄尔尼诺现象形成的年份香港受热带气旋吹袭次数较平常少及较迟，但雨量较平常多；而拉尼娜现象形成的年份香港受热带气旋吹袭次数较平常略多及较早，雨量与往年相约。12月至翌年2月则是冬季，清凉干燥，高地偶有霜降。

历史

人类在香港居住，大约已有7,000年历史。香港发现最早的新石器时代文化是“大湾文化”，分布在舂坎湾、南丫岛的大湾和深湾、长洲的西湾、大屿山的蟹地湾和赤鱲角的深湾、虎地湾等，陶器有圆底器和圈足器，夹砂陶为主，石器有树皮布拍、锛、多孔石刀等。在公元前4000年，香港已有人类。

前214年（秦始皇卅三年），秦朝征服百越，在岭南地区设置南海郡、桂林郡、象郡，迁移50万人开发岭南。香港自此纳入中国版图。当时香港属于南海郡番禺县，从此香港一直在行政管辖之内。265年（甘露元年），香港改隶南海郡博罗县。420年至478年（元熙二年至昇明二年）间，天竺（今印度）高僧杯渡禅师曾居屯门，后人称杯渡山（今青山）。

宋神宗熙宁至元丰年间，进士邓符协（江西吉水人）迁往岑田（锦田），成为邓、侯、廖、文、彭新界五大氏族之首。1277年（景炎二年）4月，宋端宗一行逃到官富场（今九龙城以南）、浅湾（今荃湾）一带，一度建立行宫。宋元时期，不少宗族从中原迁居到新界本土及离岛。

1370年（洪武三年），明朝设官富巡检司，大致相当于今香港地区。1521年（正德十六年），葡萄牙人强行驶入香港，企图前往广州贸易，曾在屯门附近与明朝水师激烈交锋。广东巡海道副使汪𬭎督师，次年凯旋。据《新安县志》记载，1668年（康熙七年），在新安县沿边设置21座墩台，包括九龙墩台。清乾隆年间，香港多个盐场改为稻田，盐业、采珠、种莞香式微，渔农业复兴。嘉庆年间编《新安县志》称，赤柱有兵把守。作为中国南大门及交通要道，香港防务地位重要。

1842年，鸦片战争后，英国占领香港岛。

1846年11月25日，九龙寨城开始动工，1847年5月31日完工。其后洪仁玕（太平天国天王洪秀全族弟）在香港酝酿提出《资政新篇》，强调法治和与外国通商。容闳在香港马礼逊学堂读书4年，毕业于美国耶鲁大学，作《西学东渐记》，组织幼童出国留学。王韬1874年在香港创办《循环日报》，推崇“君民共主（君主立宪）”。何启和胡礼垣汇编《新政真诠》，提出改良主义。

1860年，订立《北京条约》，正式割让九龙半岛予英国。1860年英占九龙半岛界限街以南地方。早期港英统治基本结合殖民主义和种族主义。

康有为于《康南海自编年谱》称，其于1879年“薄游香港，览西人宫室之瑰丽，道路之整洁，巡捕之严密，乃始知西人治国有法度，不得以古旧之夷狄视之，乃复阅《海国图志》、《瀛寰志略》等书，购地球图，渐收西学之书，为讲西学之基矣。”

1895年甲午战争结束后，德国、法国、俄国借口要求租地；其后局势紧张，英方认为如要防卫香港，必须取得邻近土地的控制权。根据1898年6月9日在北京签订《展拓香港界址专条》，中方同意把九龙界限街以北直至深圳河的新界地域，以及235个岛屿租借予英国，为期99年。1898年英强行租借界限街以北、深圳河以南的九龙半岛北部大片土地及附近岛屿。

孙中山于1923年2月19日在香港大学发表演说〈我于何时及如何而得革命思想及新思想〉：“……我之此等思想发源地即为香港。至于如何得之，则我于三十年前在香港读书，暇时辄闲步市街，见其秩序整齐，建筑闳美，工作进步不断，脑海中留有甚深之印象。……由市政之研究进而为政治之研究。研究结果，知香港政府官员皆洁己奉公，贪赃纳贿之事绝无仅有，此与中国情形正相反。盖中国官员以贪赃纳贿为常事，而洁己奉公为变例也。……于是觉悟乡村政治乃中国政治中之最清洁者，愈高则愈龌龊。……中国对于世界他处之良好事物皆可模仿，而最要之先著，厥为改变政府。现社会中最有力之物，即为一组织良好之政府。……我既自称革命家，社会上疑议纷起，多所误会，其实一中国式之革命家究不过抱温和主义，其所主张者非极端主义，乃争一良好稳健之政府。……学友诸君乎！诸君与余同受教育于此英国属地，并在同一之学校，吾人必须以英国为模范，以英国式之良政治传播于中国全国。”

省港大罢工使粮食价格高涨，银行挤提。司徒拔主张英国海军武力介入，宣布紧急状态：“凡是扰乱这个殖民地太平的人，会受到的对待就是英国人会给予的那种：公正但严厉”；谣言满天飞，人心惶惶。罢工领袖提出：每日工时以8小时为限，禁用童工，禁止警察不人道的粗暴行为，终止山顶区隔离政策；证券、股票和地价急跌，1925年9月每天有20宗破产个案；一群商人请求司徒拔向英国申请300万贸易贷款，伦敦库务署由西非货币发行局和海峡殖民地筹集。1926年10月10日，国民政府和省港罢工委员会正式发表关于停止封锁、结束罢工的公告。学者指出，省港大罢工使香港华人大致分为：罢工工人与学生拥护广州国民政府，华商与右派劳工支持港府反对罢工。

1941年1月，英国首相丘吉尔致英国驻远东军总司令函称：“如果英日爆发战争，英国绝无机会坚守香港！”12月8日，毛泽东出席中共中央政治局会议，关于工作布置，要加强南洋华侨工作，廖承志应大胆地在香港与英国建立关系。12月11日，驻港英军司令莫德庇少将下令弃守九龙，撤回港岛坚守。12月25日19时，香港总督杨慕琦与莫德庇少将在半岛酒店向日军无条件投降，21时45分东京宣布日军占领香港，香港日占时期开始。

中华人民共和国成立后，中国政府的一贯立场是：香港是中国的领土，中国不承认三个不平等条约，主张在适当时机通过谈判解决香港问题，未解决前暂时维持现状。1972年3月8日，中国常驻联合国代表黄华致函联合国非殖民化特委会主席，反对将香港和澳门列入“反殖宣言”中适用的殖民地地区的名单内。

1985年7月1日，中国内地与香港共59人组成香港特别行政区基本法起草委员会；12月28日，香港180人组成基本法咨询委员会。1990年4月4日，第七届全国人民代表大会第三次会议审议通过《中华人民共和国香港特别行政区基本法》及香港特别行政区区旗、香港特别行政区区徽图案。1996年1月26日，全国人大香港特别行政区筹备委员会在北京成立。12月11日，香港特别行政区政府第一届政府推选委员会在深圳选举产生临时立法会。

1997年6月30日午夜至7月1日凌晨，香港交接仪式在香港会议展览中心新翼5楼大会堂举行，中方代表江泽民、李鹏与英方代表查尔斯王子、托尼·布莱尔（布莱尔）等与4,000多名来宾出席。中方代表还包括钱其琛等；英方代表还包括罗伯特·库克（库克）等。中华人民共和国香港特别行政区政府宣告成立.

政治

立法

香港立法机关是香港立法会，拥有香港特别行政区的立法权。每届任期4年，原有60个席位，于2012年起增至70席，并于2022年起增至90席。立法会议员提出的议案、法案和对政府法案的修正案，须分别经选举委员会界别议员及地方选区与功能组别议员各过半数通过。行政机关负责香港与其他地区之联系、香港之各项社会事务和执行，及提供公共服务，立法机关有权监管和质询。立法机关可透过立法程序，批准、修改或反对行政机关所提议之行政措施，立法机关可在考虑通过拨款条例时，批准、削减甚或拒绝拨款办理行政事务。立法机关无权干预具体行政运作，例如公务员之任命、政府部门之工作程序等。立法机关受到公众监管，市民可藉舆论抨击和投票选举使议员失去席位。虽然立法机关制订成文法，但是成文法之释义和引用原则却是由法院决定。

司法与法律制度

香港司法机构负责就一切检控案件及民事诉讼作出聆讯，包括个人与政府之间的民事诉讼。香港法律制度建于司法独立之上，司法机构人员执行职责时，完全不受到政府行政和立法机关影响。香港司法机构是裁判行政机关与市民和市民之间之纷争，倘行政机关不合法侵犯市民权益，法院就判令行政机关停止行动或对市民作出补偿；不过法院必须执行符合立法机关所订之法律，香港司法机构不能任意订立法律；除非有当事人向法院入禀请求伸冤，法院不能随意就任何行政、立法问题作出判决。

司法机构由各级法院、特别法庭和审裁处组成。香港特区成立后，司法终审权的所属由英国枢密院司法委员会改为香港终审法院行使，法官由行政长官经司法人员推荐委员会推荐后任命，而资深法官亦须先得到立法会同意。香港高等法院分为原讼法庭及上诉法庭。香港区域法院设有家事法庭。其他审裁机关包括各个香港裁判法院及其少年法庭、死因裁判法庭、土地审裁处、劳资审裁处、小额钱债审裁处及审裁非电影类作品级别及性质的淫亵物品审裁处。

对外事务

根据《基本法》，香港的外交事务由中央人民政府负责。香港自行处理部分对外事务，可在经济、贸易、金融、航运、通讯、旅游、文化和体育等领域以“中国香港（Hong Kong, China）”名义单独同世界各国、各地区和国际组织保持和发展关系，签订和履行协议。

经济

香港经济属自由市场经济，其核心内容是通过价值规律、供求关系、竞争机制之自发调节来配置社会资源。前香港律政司祈理士认为，自由贸易之哲理源自中国古代道家哲学，如老子《道德经》所言：“将欲取天下者，恒以无事。及其有事也，又不足以取天下矣。……无狎其所居，无厌其所生，夫唯弗厌，是以不厌。”。有说法形容香港经济是“转型经济”，接受而多少改变事物，后再经手传出去。数十年来，历任香港财政司始终相信：就解决问题的方法而言，市场力量比政府的管制措施或各类指示更为有效，而且肯定更为快捷。

自由港政策特征是政府对贸易、市场不加干预或极少干预。香港一直是一个奉行自由市场的资本主义经济体系，其经济重点在于香港政府施行之自由放任政策，诺贝尔经济学奖得主米尔顿·佛利民更视香港为自由放任经济典范。政府对关系社会、民生之土地、公屋、食水、大米和一些公用事业直接控制、配置或立例管理，对贸易、商业、工业、航运等部门概不干预，在市场自动调节下运作，同时实行低税制。香港管治精神讲求效率，治理哲学采取务实的放任主义：自由贸易、自由企业、门户开放，“正面性的不干预主义”。“积极不干预”政策，实际上是一种适度的积极干预政策：一、奉行自由主义经济哲学，努力保持自由港地位，坚持自由企业制度和自由经济政策，营造鼓励竞争的投资环境，巩固市场机制经济基础；二、通过政策措施补救自由放任经济政策的缺陷，适度的必要干预。

优秀的地理位置、资讯流通、高效率的配套设施及服务，都对香港经济贡献良多。于2011年及2012年连续两年，香港于世界经济论坛的《金融稳定指数发展报告》中均是排名首位。

法定货币

港元，原称“港圆”，俗称“港币”或“港纸”，是香港的法定流通货币，其货币及基金代码之表示法为HKD（Hong Kong Dollar），标志为HK$。香港之流通货币1961年只有1,026,000,000元，1971年增至2,932,000,000元。港元纸币绝大部分由经过香港金融管理局授权并监管下的三家发钞银行所发行，除了由香港金融管理局重新发行的塑胶拾元纸币。该三家发钞行分别是香港上海汇丰银行、渣打银行（香港）和中国银行（香港）（二十元、五十元、一百元、五百元和一千元）。汇丰银行于1865年3月在香港成立。

经济结构

香港在多次金融冲击中表现出色，仍能维持较高人均收入、经济增长及财政灵活。

根据国际货币基金组织2021年数据，香港人均本地生产总值（购买力平价）为62,839美元，全球排名第8；按国际汇率则为49,036美元，全球排名第18，次于加拿大。综观各产业以服务业占本地生产总值比重最高，2009年数字为92.7%，当中金融、保险、地产及商用服务业占国内生产总值27.2%，批发、零售、进口与出口贸易、饮食及酒店业占26.5%，社区、社会及个人服务业则占18.2%。2017年，香港在中国所有城市中，GDP排在第三，位列上海和北京之后、排在深圳和广州之前，超深圳610.75亿元人民币，但人均GDP仍排在第一位。

香港服务行业的服务对象不限于本地，而是面向全球。服务输出总值占本地生产总值比率甚高，2008年服务输出总值达923亿美元，占本地生产总值42.9%，主要包括商贸服务及贸易相关服务（占2008年服务输出总值30.3%）、运输服务（30.8%）及旅游服务（16.4%）。2009年服务输出总值达6,728亿港元，占本地生产总值40.5%。

人口

1955年，香港人口240万，到1988年是560万，98%是华人。2013年，香港出生率全世界最低——每1,000人中只有7.6个新生婴孩，人均寿命则是最高的地区：男性出生时平均预期寿命为81.1岁，女性则为86.7岁。2014年，65岁及以上人口占总人口14.7%。随着平均预期寿命增长及出生率的降低，人口将会越趋老化，估计于2033年，65岁及以上人口，将占总人口27%；估计于2041年，人口达到最高峰819万人，之后人口会逐步减少。

香港居民有广府人、福建人、客家人、蛋家人，真正土生土长为数不多，除战后在香港出生外，其余多是不同时期广东、福建、江苏、浙江及上海等地移民。1970-1980年代，香港作为第一收容港收留了较多越南船民，当中有相当比重为越南华人。此外，香港居民仍有部分少数族裔，较多比重的少数族裔为南亚裔等。

2014年，香港女性较男性多出551,500人，每10,000名女性只有8,584名男性；初婚年龄男性中位数为31岁，女性为29岁。

根据2021年香港人口普查数据，四大区域之人口分别为：香港岛1,195,529人、九龙2,232,339人、新界3,984,077人、水上1,125人，总人口7,413,070人。

社会

香港政府积极推动家庭关系、抗毒运动、教育改革、青少年发展、体育发展、长者服务、残疾人士及精神科病人康复服务、社会企业以及就业服务，以及舒缓贫富悬殊。

香港贫富悬殊全亚洲最严重。联合国人类住区规划署发表年度报告指，香港是全亚洲贫富悬殊最严重的城市，也是全球贫富悬殊先进地区之首，其基尼系数高于0.4警戒线，高达0.53，远高于拉丁美洲城镇地区的平均基尼系数0.5。2015年3月，英国“经济学人智库”公布最新全球生活成本排名，以美国纽约指数定于100为基准，香港首次飚升成为全球第9最昂贵城市。调查指在美元强势下，香港租金及零售价格等与美元挂钩，生活成本随之上升。

语言

香港通用英语（英文作为行政语言）和粤语中的广州话（俗称“广东话”）。香港曾受英国统治，英文和中文同样享有法定语文地位，同时英文也是香港常用语言，广泛用于商业和教育中，在政府部门以及司法民生等部门的公共文件中如中英文对照有歧义时通常以英文为最终解释。不少东南亚外籍家佣也在雇用者家中使用英文。香港失聪人士沟通时，主要语言为香港手语。水上人是香港最早期的原居民，以及远古百越族的越人遗裔，和珠三角的汉人同化，早已在香港水域内、外生活、定居、捕鱼，英语的“Hong Kong”即译自蜑家话。水上人所操的蜑家话与广州话同属粤语之分支，基本相通。其他原居民主要为居住在沿海平原的属于广府民系的围头人，及居住在新界的客家民系，围头人和客家人分别使用粤语莞宝片围头话和客家话粤台片惠阳音。

语文

根据《香港法例》第5章《法定语文条例》，中文及英文为官方语文，拥有平等地位。在港英时代，英文曾经是香港唯一的法定语文；在1971年，中文才成为另一种法定语文。

粤语白话文是香港语文的重要部分，其写法跟粤语口语的句式、语法、词汇基本吻合。粤文在香港随处可见，但在正式文书和公函中，则会以所谓的“书面语（本质为官话白话文混合文言文及粤文）”撰写。过去的电脑系统不支援部分粤语字，不过随着香港政府在1995年发布香港增补字符集，现时已能够在电脑中输入绝大部分粤语字。与此同时，Unicode亦支援粤语字。

教育

香港最早记载的学校是锦田力瀛书院，1075年由北宋进士邓符协所建是类书院和书室属于私人学校，教授四书五经。而在香港被英国殖民带来现代化学校之前，旧式书院、书室多设于新界各村落，而香港岛则多是私塾。英华书院是香港历史上最悠久的现存中学，于1818年11月11日在马六甲成立；香港历史上最悠久在本地创立的学校则是圣保罗书院，于1851年在香港岛创立。而于1887年10月1日，香港西医书院成立。1912年3月11日，香港大学开幕。1963年，香港中文大学成立。1991年10月10日，香港科技大学开幕。

香港专上教育是香港中学教育之后的教育阶段，除了学位课程外，也包括副学士及高级文凭等课程。其于20世纪初正式起步，第一所大学为1911年3月正式成立的香港大学。目前，香港有八间大学教育资助委员会资助的法定公立大学，分别为香港大学、香港中文大学、香港科技大学、香港城市大学、香港理工大学、香港浸会大学、岭南大学、香港教育大学。香港树仁大学、香港恒生大学及圣方济各大学则是私立大学，而香港都会大学（原名：香港公开大学）是唯一一间自资营运的法定公立大学。

宗教

宗教信仰自由是香港市民的基本公民权利，并受法例保障；任何宗教团体亦可以在香港办学，不少宗教团体营运的学校亦受到纳税人资助。源自世界各地的宗教均在香港和谐并存，其中有基督新教、天主教、佛教、道教、孔教、伊斯兰教、印度教、锡克教、犹太教等。许多宗教团体除弘扬教义外，也乐心公益，有兴办学校、提供卫生福利设施等。圣母神乐院生产十字牌牛奶，门口写上拉丁文，意为“入者有平安，出者有健康”（PAX INTRANTIBUS，SALUS EXUENTIBUS）。

香港最热闹的庙宇有赤松黄大仙祠，以求运签为主，深得民心；还有沙田车公庙。此外还有万佛寺、宝莲禅寺、文武庙等。齐天大圣、海神、土地神、灶神、武神、水仙、禄星、观音、福星、关公、寿星、文昌、文曲及财神，五花八门。

饮食

香港人极为重视饮食，除以粤菜闻名外，日、韩、台、越、泰、印度及欧洲的菜系亦十分常见，享有“美食天堂”的称号。2008年12月，米其林为香港出版美食指南。

早年香港人习惯上茶楼，早上泡一壶茶、叫两件点心（一盅两件），成为西方人眼中典型的香港饮食文化。受英国影响，港人同样喜好下午茶，多数吃一件三明治、蛋挞，喝一杯奶茶或咖啡。

在华洋杂处下，香港发展出名为茶餐厅的独特餐馆，而大牌档及冰室也曾经是非常普遍的食肆。冰室原本出售三明治、咖啡等廉价西式小食，后来食品种类逐渐增加，又与西菜馆和餐室的模式结合，演变成为今日的茶餐厅。茶餐厅引入传统中国小炒及欧美食物，后来更发展至晚饭小菜，并且自创炒或捞即食面、菠萝油（菠萝包加牛油）、柠檬七喜／柠檬可乐、鸳鸯（港式奶茶加咖啡）等，款式可谓多元化。最早以茶餐厅名义经营的为1946年开办的中环兰香阁茶餐厅，1952年开业的兰芳园则是香港现存历史最悠久的茶餐厅。茶餐厅噪音是华人特有，是生活实质部分，坦然的不整洁感，风情自由自在。

香港深受外来饮食文化影响。中环兰桂坊、苏豪区、湾仔及尖沙咀酒吧林立，而慕尼黑啤酒节更由1991年起每年于尖沙咀广东道举行；亦有不少从外地传来的潮流饮食，如来自英国的奶茶、澳门的葡挞、台湾的珍珠奶茶、日本的寿司及美国的家乡鸡、意大利薄饼、甜品芝士蛋糕等。

传统本地菜以广东菜、客家菜及潮州菜为主，盆菜则是新界原居民在节庆时的传统菜。香港临近海洋，因此海鲜也是常见菜色，亦发展出如避风塘炒蟹的避风塘菜色。另外，位于香港仔避风塘的珍宝王国是著名的海上食府，而西贡市、南丫岛、流浮山和九龙鲤鱼门也是食海鲜的好地方。

快餐方面，美式快餐主要由麦当劳及肯德基经营，而香港也发展出自己的港式快餐，当中以大家乐、大快活及美心MX等集团为代表；以走高级茶餐厅线路的翠华餐厅，及以中式烧味店驰名的太兴烧味，也发展成为港式快餐连锁店。另外，日本著名盖饭快餐吉野家及主要经营广东粥品的海皇粥店，亦先后以连锁式经营，于1990年代打入香港的快餐市场。

此外，香港街头小食也多姿多彩，小食中例如魚丸、鸡蛋仔、砵仔糕、煎酿三宝、碗仔翅和车仔面等均深受香港人欢迎。

节日

香港有许多中国传统节日活动，例如端午节龙舟竞渡、中秋节野餐赏月、清明节扫墓、重阳节登高踏青、大坑舞火龙等；农历新年人们尽情吃喝，花车巡游、非法放鞭炮，按香港传统习惯以华语互称：“恭喜发财！”与大部分的华人社会一样，农历新年是香港最重要的节日，期间最重要的是向各亲友拜年。基于英国殖民统治，香港人亦普遍会庆祝西方节日，如圣诞节、情人节、复活节、万圣节等，呈现出中西交融的特色。

除国际社会主流节日以外，香港亦有不少地方性节日，如大概在每年农历四月长洲太平清醮，期间长洲居民茹素，并有抢包山、太平清醮等节目。

文化

粤语流行音乐

粤曲是香港早年普及娱乐，随着1920年代“省港班”兴起，薛觉先和马师曾等人士着手改良歌唱腔调，出现薛马争雄的粤曲黄金时代。此时香港流行文化与广州一衣带水，如省港班就是穿梭港粤两地以至到东南亚演出，并未形成独特香港文化。1950年代，香港开始汲取上海普及文化，加上欧美多年影响，1950年代至60年代都以华语流行音乐和欧西流行音乐为主，粤语流行音乐还未普及。

1970年代起，莲花乐队主音歌手许冠杰于无线电视特备节目《双星报喜》中首次唱出和兄长许冠文共同创作的《铁塔凌云》一曲，大获好评，该曲字词文雅、秀丽，摆脱一般粤语流行曲给人粗俗不堪的印象，从而带动一股粤语流行曲潮流，其后“粤语流行曲”蓬勃发展；另一方面，粤语流行曲热潮亦有赖《家变》、《狂潮》、《小李飞刀》等电视剧主题曲。在1976年至1983年间，当时流行曲多以电视剧主题曲为主。

1980年代，除许冠杰外，关正杰、谭咏麟、梅艳芳、张国荣、罗文、陈百强、徐小凤、林子祥等均系当时乐坛著名歌手，而本土乐坛具有相当潜力的新人亦不断涌现，包括张学友、林忆莲、叶蒨文和陈慧娴等人，香港音乐产业欣欣向荣。香港粤语流行曲通过电台播放而普及起来，再加上形象包装及演唱会热潮，粤语流行曲逐渐建立自身独特感；不过，当时粤语流行曲参照大量日本流行音乐及西方音乐，譬如乐与怒、蓝调、民歌等。由于日本歌曲富时代感，改编日本歌曲成为热潮。同时，香港开始涌现本地原创音乐乐队组合，例如Beyond、太极乐队、达明一派、及女子组合梦剧院、Face To Face等。

1990年代，张学友、刘德华、郭富城和黎明合称“四大天王”，张学友唱片品质及销量在1990年代中期曾瞩目欧美，成为国际明星，其使香港本土音乐作品对外影响力达到巅峰。另外Beyond乐队亦相当受欢迎，更曾到日本登台。此时，女歌星陈慧琳、王菲、郑秀文、杨千嬅在乐坛亦地位重要，与四大天王不遑多让，影响遍及中国内地和东南亚等地。

进入21世纪，谢霆锋、古巨基、陈奕迅、容祖儿、何韵诗、谢安琪、杨千嬅、张敬轩、卫兰、薛凯琪和吴雨霏等歌手，以及Twins、Rubberband、Supper Moment、Dear Jane等组合，深深影响香港流行文化。另外，不少歌手以唱作人身份出道，往往兼任作曲人、填词人和歌手，如唱作四小强：王菀之、张敬轩、张继聪和方大同。

2010年代末至2020年代，香港本地组合如MIRROR、ERROR、P1X3L、After Class、COLLAR、MC $oHo & KidNey等相继成立。姜涛、卢瀚霆、吕爵安、陈卓贤、林家谦、张天赋、炎明熹、曾比特、梁嘉茵、陈蕾等新力军为香港乐坛注入一股活力。这些组合及歌手令更多香港人重新关注广东歌文化。

线性代数笔记

Wed, 26 Mar 2025 16:51:19 +0800

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A major application of linear algebra is to solving systems of linear equations

”线性代数的本质“课程 bilibili 链接 youtube 链接

向量

物理学角度：由长度和指向决定的空间中的一个自由箭头计算机角度：有序的数字列表数学角度：可以是任何事物，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可，暗示了向量加法和乘法贯穿了线性代数的始终 应该在这两种角度下反复切换来学习

向量的数乘

缩放是指使向量被拉伸或压缩或反向的过程

向量数乘中的数字被称为标量（scaler），因为数字在数乘乃至整个线性代数中的作用就是去缩放向量

线性组合、跨度和基向量

一个向量的坐标表示可以看作是一个坐标分量去缩放对应的单位向量（基向量），最后把所有的基向量相加的过程

两个数乘向量的和被称为两个向量的线性组合 线性的其中一个理解是：将坐标的其中一个标量固定，然后让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点最后会描绘出一条直线

在二维空间下，对两个线性无关的向量来说，这两个向量的线性组合所构成的所有向量构成的组合（set）即为这两个向量张成的空间（span）

在三维空间下，取两个不共线的向量，其张成的空间就是一个平面，再取一个向量，如果这个向量落在了该平面内，那么增加的这个向量并不会扩展span的维度，从某种程度来说这个向量便是多余的。若向量不在这个平面内，则span就会扩展成三维的空间，覆盖整个三维空间。关于扩展成三维空间的思考方式

前两个向量张成的平面沿第三个向量的方向扫描，最终扩张成三维空间。
三个线性无关的向量的线性组合能够表示任何一个三维的向量，进而组成三维空间。

线性相关和线性无关：如果向量组中每个向量都为span增添了新的维度，那么这个向量组就是线性无关的。如果向量组中有向量并没有为span维度增加作贡献，那么向量组便是线性相关的；如果向量组中有向量落在了其他向量的span中，那么该向量组是线性相关的。

空间的一组基：张成该空间的一个线性无关的向量的集合

线性变换和矩阵

变换可以认为是函数的另一种说法，即接受一组输入，并给出一组输出。而变换的特别之处在于变换暗示了这个过程的可视化性。对于向量的变换，可以认为是输入向量移动到输出向量的位置。

线性变换的性质和条件：

直线在变换后仍然保持直线，不能弯曲，即保持网格线平行并且等距分布
原点必须保持固定上述性质是可加性和成比例在二维空间这一特殊情况下的体现

我们能够通过基向量的线性变换来表示整个空间的线性变换。这样做的依据是一个线性组合在线性变换后仍保持该线性组合。这条性质的来源是线性变换具有保线性。

对于一个代表线性变换的矩阵，其列向量即为对应的变换后的基向量。若给出一个向量，想知道对这个向量施以某线性变换得到的向量，只需要将该线性变换的矩阵左乘该向量（即将该向量的坐标与矩阵对应列向量相乘，最后得到的新列向量相加），就能得到结果。

如果每一个矩阵都代表一个线性变换，那么对矩阵转置的话，该线性变换会发生什么变化呢

矩阵乘法

矩阵的乘法可以看作是多次线性变换的复合

矩阵乘积的效果需要从右往左去应用，这也揭示了矩阵乘法没有交换律，也揭示了矩阵乘法具有结合律

多用分块矩阵的思想去思考矩阵乘法的过程

行列式

对于一个方格的面积的变换适用于所有其他大小的方格一个矩阵的行列式的绝对值即为线性变换改变面积的比例如果一个行列式为零，那么这个矩阵代表的变换将空间压缩到了更小的维度上，并且这个矩阵的列向量是线性相关的若行列式的值为负数，说明这个矩阵代表的线性变换改变了空间的定向

特别的，在三维空间中，矩阵的行列式的绝对值可以看作是一个边长为一的正方体通过矩阵的代表的线性变换形成的平行六面体的体积，即只要给定了平行六面体的三条代表边长的向量，就可以通过三个向量形成的行列式计算出平行六面体的体积。

逆矩阵、列空间、秩和零空间

求解线性方程组$A\vec{x}=\vec{v}$的几何过程即为寻找一个$\vec{x}$使他在线性变换后与$\vec{v}$重合

如果线性变换将空间进行了压缩，若$\vec{v}$被包含在列空间内，则有无数个$\vec{x}$在变换后与$\vec{v}$重合；若$\vec{v}$没有被包含在列空间内，则不存在$\vec{x}$在变换之后与$\vec{v}$重合 $\iff$rank(A)=0，方程组可能有无穷解或零解

逆矩阵（Inverse matrices）

存在矩阵A，A的逆矩阵为$A^{-1}$，满足$AA^{-1}=I$ $I$ 称为恒等变换，即不做任何变换的变换。

列空间（Column space）

所有变换后的向量的集合称为列空间，因为变换的矩阵的列指示了基向量变换后的位置，而列空间便是有变换后的基向量张成的。

零向量一定被包含在列空间中。因为线性变换必须保持原点位置不变

秩（Rank）

秩代表了线性变换后空间的维数，更精确的说，是列空间的维数

当秩达到最大值时，秩与列数相等，称之为满秩。

零空间（Null space）

在满秩变换中，唯一能在变换后落在原点的只有零向量，而如果是非满秩变换，则会有一系列的向量会被压缩在原点，成为零向量。

变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的零空间或者核

当线性方程组的$\vec{v}=0$时，零空间便是这个方程的解

非方矩阵作为维度之间的变换

在做非方矩阵所代表的线性变换时，矩阵的列数表示了输入向量的维数，矩阵的行数则表示了输出向量的维数，故该线性变换会导致输入变量维数的变化。

瘦高矩阵是把低维空间映射到高维的空间上。矮胖矩阵是把高维空间压缩到低维空间上。

关于列满秩的概念和性质还是不是很懂

列满秩矩阵即该矩阵代表的线性变换会将原系下的基向量映射成一组线性无关的向量，故该向量能够作为新系下的一组基，所以该矩阵代表的线性变换并不会使空间坍缩

点积和对偶性

点积（dot product）是投影的一个很好的体现，也能够检验两个向量的指向是否相同

两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为代表线性变换的一个矩阵。

向量有的时候可以看成是线性变换的物质载体

对偶性（duality）可以说是两种数学事物之间自然而又出乎意料的对应关系对偶性的思想在于一个多维空间到数轴的线性变换与该空间的一个向量一一对应，即应用线性变换和与这个向量点乘等价

感觉这节课内容的逻辑联系还没有完全找到，之后要花时间去重新理解

叉积

Standard introduction

$\vec{v}\times\vec{w}$ 的绝对值等于以$\vec{v}$和$\vec{w}$向量为边长组成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则

叉积通过两个三维向量生成一个新的三维向量，且新的三维向量与原来的两个向量都垂直，方向遵循右手定则

通过矩阵行列式计算叉积

Deeper understanding

通过矩阵行列式计算叉积的方法是具有其几何意义的。叉积可以看作一个函数，输入两个向量，然后输出一个新的向量。我们可以定义一个从三维空间到数轴的线性变换，该线性变换只与$\vec{v}$和$\vec{w}$向量有关，那么我们可以通过矩阵乘法去描述这个线性变换，即存在一个$1\times3$的矩阵代表这个变换。而根据对偶性，我们可以将该矩阵立起来变成一个$3\times1$的向量$\vec{p}$，使得$\vec{p}$与任一向量(x,y,z)的点积等于一个$3\times3$的行列式，且该行列式的结果是以(x,y,z)、$\vec{v}$和$\vec{w}$构成的平行六面体的体积。

那么，问题就变成了怎么样的$\vec{p}$能够满足上述性质 即该$\vec{p}$的长度等于$\vec{v}$和$\vec{w}$构成的平行四边形的面积，且方向垂直于$\vec{v}$和$\vec{w}$。此时，$\vec{p}$和(x,y,z)做点积就相当于得到(x,y,z)在$\vec{p}$上的投影向量的长度和$\vec{p}$的长度的乘积，得到的结果正好是行列式的结果——以(x,y,z)、$\vec{v}$和$\vec{w}$构成的平行六面体的体积。综上所述，我们通过$\vec{v}$和$\vec{w}$定义了一个函数（线性变换），而$\vec{p}$正代表了这个线性变换。这个定义的过程我们也可以看成是一个函数，那么该函数其实就是叉积。

于是我们只要求解$\vec{p}$的坐标就能够得出叉积的结果。引入i,j,k是作为一个符号，区分出p1,p2,p3的解，进而得出$\vec{p}$。

思考过程从叉积的定义下手，先找到叉积输出的向量的特点，之后从行列式一侧的角度去看，通过定义线性变换（一个点积的处理，即投影，且只与$\vec{v}$和$\vec{w}$有关），并通过对偶性将该线性变换对应到一个向量$\vec{p}$上，。通过等式可以得到向量$\vec{p}$正好符合叉积输出的向量的特点，因此形成闭环。这个叉积的过程就是一个从求平行六面体的体积出发，将其抽象成一个函数（或者成为线性变换），之后再通过对偶性抽象成一个向量的过程。

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克拉默法则的几何解释

一般的正交变换并不会保留点积，即向量的点积在进行变换之后会发生改变。

正交变换(Orthonormal-transformations) 是一种能够保留点积的变换。这种变换使基向量在变换后依然保持单位长度且相互垂直

$A\vec{x}=\vec{v}$ 对于该线性方程组，易得$x_i=k_i\cdot\vec{x}$ ($k_i$为基向量)，即$\vec{x}$的每一个分量都可以由$\vec{x}$与对应的基向量的点积表示，而该点积又表示由$\vec{x}$与对应的基向量为邻边组成的平行四边形的面积Area。在进行了矩阵A代表的线性变换后，平行四边形的面积被缩放，缩放的倍数是det(A)，再次套用上述关系式，可得 $Area1=x_i^{’}=k_i^{’}\cdot\vec{v}$ ($k_i^{’}$为线性变换后的基向量)。所以$Area\times det(A)=Area1$ ，即$x_i=\frac{x_i^{’}}{det(A)}=\frac{det(D_i)}{det(A)}$ ，矩阵$D_i$为将矩阵A的第i列替换为$\vec{v}$的矩阵，$D_i$ 的几何意义是对第i个分量单独按照矩阵A作线性变换，$\det(D_{i})$ 代表了该线性变换对第i个基向量的缩放倍数，与$x_i=k_i\cdot\vec{x}$ 等价。如此便从几何上证明了Cramer法则以及揭示了Cramer法则的几何意义。

本节中最重要的可以说是将分量巧妙的用对应基向量和未知向量构成的平行四边形的面积表示，而该面积又等于这两个向量的点积。如此我们通过线性变换中面积变化的比例来构建未知分量和变化后的未知分量（此时已知）的关系。

基变换

发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一个坐标系

不同坐标系的原点是相同的

设坐标系1：$[\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}]$，其坐标为x，坐标系2：$[\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}]$，其坐标为y，A为1到2的过渡矩阵，对于基来说，该变换为 $$ [\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}]=[\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}]A $$ 对于坐标（坐标默认为列向量）来说，该变换为 $$ x=Ay $$ 对于一个向量$\alpha$ ，存在以下基变换的关系 $$ \alpha=[\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}]x=[\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}]y=[\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}]Ay $$

向量在不同坐标系下的转换

如何在不同坐标系之间进行转换

设n维空间中有两个基（1）$\vec{x}$（2）$\vec{y}$ 由基（1）到基（2）的过渡矩阵为A，则有 $$\vec{x}=A\vec{y}或\vec{y}=A^{-1}\vec{x} $$ 过渡矩阵A以基（1）下表示的基（2）的基向量为列向量构成。

代表线性变换的矩阵在不同坐标系下的转换

设初始坐标系为O1，基向量为x，另一坐标系为O2，基向量为y，且存在过渡矩阵使得$\vec{x}=M\vec{y}$这样的关系成立

在表示代表线性变换的矩阵时，一般的，我们是用O1坐标系下的坐标去跟踪O1坐标系下的基向量。设某一线性变换的矩阵为A，给出O2下的一向量v

1、v左乘M，将v由O2下的语言转换成O1下的语言

2 、继续左乘A，将O1下的v进行A（在O1体系下描述）代表的线性变换

3、继续左乘$M^{-1}$，将线性变换后O1语言描述的v翻译成由O2语言描述

最终得到的向量$M^{-1}AM\vec{v}$即为O2体系下对v进行与O1体系下描述的矩阵A代表的线性变换等效的线性变换后的向量。

$M^{-1}AM$暗示着一中数学上的转移作用，其中A代表当前视角下的一个变换，A两侧的矩阵代表着转移作用，即视角上的转换。最后的乘积仍然代表着同一种变换，只是描述的视角发生了改变~~这不就是相似吗~~

特征向量与特征值

给出矩阵A，如果存在复数$\lambda$和非零向量$\vec{x}$，满足$$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$$ 则$\lambda$称为矩阵A的一个特征值，$\vec{x}$称为A对应与特征值$\lambda$的特征向量。

从其几何意义上来说，对空间进行A所代表的线性变换后，存在向量在变换后仍然留在他们变换前张成的空间里，只是发生了一定比例的伸缩，该比例被称为特征值$\lambda$，满足上述条件的向量被称为特征向量$\vec{x}$。即A代表的线性变换对特征向量的作用只是使他们发生了伸缩，而没有发生旋转。而根据线性性质，某一特征向量的列空间中的所有向量也是特征向量。每个特征向量都和特征值一一对应。

考虑三维空间中的特征向量和特征值，如果找到了线性变换的矩阵A的特征向量，该特征向量即为线性变换的旋转轴。

为了求解特征向量和特征值，对上式进行一定的处理，变为$$(A-\lambda I)\vec{x}=0$$ 由于$\vec{x}$为非零向量，所以当且仅当矩阵$A-\lambda I$代表的线性变换会将空间压缩至更低的维度时，$\vec{x}$才会有解。即$det(A-\lambda I)=0$。满足上式的$\lambda$即为特征值。

当特征值为虚数时，这往往代表了对应的线性变换是旋转。

如果在某个线性变换中，基向量都是特征向量，则该线性变换的矩阵为对角阵，且对角线上的元素分别为基向量的特征值

对角矩阵的乘法非常简单，即让基向量与某个特征值相乘。所以对角矩阵的高次幂非常好求

当某线性变换的所有特征向量能够张成整个线性空间时，我们就可以通过[[#^1|基变换]]使得基向量都是特征向量，此时，在新的坐标系视角下的线性变换的矩阵就变成了对角阵，且对角元为对应的特征值。（即正角相似对角化）这是因为新坐标系下的基向量在变换中只进行了缩放

不是所有的线性变换的矩阵都能正交相似对角化。n阶矩阵A能够正交相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。几何上来说，就是只有A的所有特征向量能够张成全空间，这些向量才能作为空间的基向量。

抽象线性空间

满足可加性和成比例这两条性质的变换是线性变换。

求导是线性运算

线性空间的八条公理

这些公理发挥着媒介的作用，即任何的向量空间，如果满足上述八条公理，即可应用线性代数的所有结论

抽象向量的形式并不重要，只要其加法和数乘满足上述公理即可。

向量空间是个高度抽象的概念。

Abstractness is the price of genrality. 普适的代价是抽象。

善于运用直观思维。